Question

18．已知函数f（x）=2log₂²x-4λlog₂x-1在x∈[1，2]上的最小值是-$\frac{3}{2}$，则实数λ的值为（　　）

• A． λ=-1
• B． λ=$\frac{1}{2}$
• C． λ=$\frac{5}{8}$
• D． λ=$\frac{7}{16}$

Answer 1

分析 可设t=log₂x（0≤t≤1），即有g（t）=2t²-4λt-1在[0，1]上的最小值是-$\frac{3}{2}$，求出对称轴，讨论对称轴和区间[0，1]的关系，运用单调性可得最小值，解方程可得所求值．

解答 解：可设t=log₂x（0≤t≤1），
即有g（t）=2t²-4λt-1在[0，1]上的最小值是-$\frac{3}{2}$，
对称轴为t=λ，
①当λ≤0时，[0，1]为增区间，即有g（0）为最小值，且为-1，不成立；
②当λ≥1时，[0，1]为减区间，即有g（1）为最小值，
且为1-4λ=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{5}{8}$，不成立；
③当0＜λ＜1时，[0，λ）为减区间，（λ，1）为增区间，
即有g（λ）取得最小值，且为2λ²-4λ²-1=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{1}{2}$（负的舍去）．
综上可得，$λ=\frac{1}{2}$．
故选B．

点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和对数函数的单调性，讨论二次函数的对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．