Question

8．已知曲线${C_1}：y={x^2}$与${C_2}：{y^2}=x$在第一象限内的交点为P．
（1）求过点P且与曲线C₁相切的直线方程l；
（2）求l与曲线C₂所围图形的面积S．

Answer 1

分析 （1）求出P点坐标，设出切点坐标，根据导数的几何意义列出方程求出切点坐标和切线效率，代入点斜式方程；
（2）求出l与C₂的交点坐标，使用定积分求出封闭图形的面积．

解答 解：（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{{y}^{2}=x}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$得x=y=1，∴P（1，1）．
设f（x）=x²，则f′（x）=2x，
设l与C₁的切点为（x₀，x₀²），则切线斜率为k=f′（x₀）=2x₀，
∴l的方程为$y-x_0^2=2{x_0}（x-{x_0}）$，把P（1，1）代入l方程得，x₀=1，
∴切线l方程为2x-y-1=0．
（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1=0}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{4}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$．
∴S=${∫}_{-\frac{1}{2}}^{1}（\frac{y+1}{2}-{y}^{2}）dy$=（$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}y$-$\frac{{y}^{3}}{3}$）${|}_{-\frac{1}{2}}^{1}$=$\frac{9}{16}$．

点评 本题考查了导数的几何意义，定积分在求面积中的应用，属于中档题．