Question

10．已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₂=6，S₄=30，n∈N^*，数列{b_n}满足b_n•b_n+1=a_n，b₁=1
（I）求a_n，b_n；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正项等比数列{a_n}的前n项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出${a}_{n}={2}^{n}$．由数列{b_n}满足b_n•b_n+1=a_n，b₁=1，推导出$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n-1}}=2$，由此能求出b_n．
（Ⅱ）由等比数列性质能求出数列{b_n}的前2n项和．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₂=6，S₄=30，n∈N^*，
∴由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}q=6}\\{{a}_{1}{q}^{2}（1+q）=24}\\{q＞0}\end{array}\right.$，
解得a₁=2，q=2，
∴${a}_{n}={2}^{n}$．
∵数列{b_n}满足b_n•b_n+1=a_n，b₁=1，
∴当n≥2时，b_n•b_n+1=2ⁿ，b_n-1•b_n=2^n-1，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n-1}}=2$，n≥2，
又b₁=1，∴${b}_{2}=\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$=2，
∴b₁，b₃，…，b_2n-1是首项为1，公比为2的等比数列，
b₂，b₄，…，b_2n是首项为2，公比为2的等比数列，
∴${b}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}}，n为奇数}\\{{2}^{n}，n为偶数}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{b_n}的前2n项和为：
${T}_{2n}=\frac{1•（1-{2}^{\frac{n}{2}}）}{1-2}+\frac{2•（1-{2}^{\frac{n}{2}}）}{1-2}$
=${2}^{\frac{n}{2}}-1+2•{2}^{\frac{n}{2}}-2$
=$3•{2}^{\frac{n}{2}}-3$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．