Question

5．已知定义在R的函数$f（x）={a^x}+\frac{1}{a^x}（{a＞1}）$．
（1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；
（2）解关于x的不等式：f（x-1）＞f（2x+1）．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性和单调性的定义即可判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；
（2）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式：f（x-1）＞f（2x+1）进行转化求解即可．

解答 解：（1）f（-x）=a^-x+$\frac{1}{{a}^{-x}}$=a^x+$\frac{1}{{a}^{x}}$=f（x），
则函数为偶函数，
当x≥0时，设0≤x₁＜x₂，
即f（x₁）-f（x₂）=${a}^{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}}$-${a}^{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{a}^{{x}_{2}}}$=${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1}{{a}^{{x}_{2}}}$=（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）+$\frac{{a}^{{x}_{2}}-{a}^{{x}_{1}}}{{a}^{{x}_{1}}{a}^{{x}_{2}}}$=（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）•$\frac{{a}^{{x}_{1}}{a}^{{x}_{2}}-1}{{a}^{{x}_{1}}{a}^{{x}_{2}}}$，
∵a＞1，0≤x₁＜x₂
∴1≤${a}^{{x}_{1}}$＜${a}^{{x}_{2}}$，
则${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＜0，${a}^{{x}_{1}}$•${a}^{{x}_{2}}$-1＞0，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，则f（x₁）＜f（x₂），即此时函数单调递增，
同理当x≤0时，函数单调递减；
（2）∵函数f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，
则关于x的不等式：f（x-1）＞f（2x+1）等价为f（|x-1|）＞f（|2x+1|），
即|x-1|＞|2x+1|，
平方得x²-2x+1＞4x²+4x+1，
即3x²+6x＜0，即x²+2x＜0，得-2＜x＜0，
即不等式的解集为（-2，0）．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．