Question

19．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°；
②sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°；
③sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°；
④sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°；
⑤sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°．
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）选择②，由sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-$\frac{1}{2}$sin30°=$\frac{3}{4}$，可得这个常数的值．
（2）推广，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．证明直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．

解答 解：（1）选择②计算如下：
sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-$\frac{1}{2}$sin30°=$\frac{3}{4}$，故这个常数为$\frac{3}{4}$．
（2）根据①的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．
证明：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin²α+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{1}{2}$sinα）²-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α+$\frac{1}{4}$sin²α+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinαcosα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinαcosα-$\frac{1}{2}$sin²α=$\frac{3}{4}$sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α=$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力，属于中档题．