Question

18．如图，已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，△ABC为等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PA=PB．
（Ⅰ）证明：OA=OB；
（Ⅱ）证明：平面PAB⊥平面POC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由OA，OB，OC两两垂直，结合勾股定理可得OA²+OC²=OB²+OC² ，再由AC=BC，即可得到OA=OB；
（Ⅱ）由OA，OB，OC两两垂直，可得OC⊥平面OAB，则OC⊥AB．取AB的中点D，连接OD、PD，可得OD⊥AB，PD⊥AB，则AB⊥平面POD．得到AB⊥PO．由线面垂直的判定可得AB⊥平面POC．进一步得到平面PAB⊥平面POC．

解答 证明：（Ⅰ）∵OA，OB，OC两两垂直，
∴OA²+OC²=AC²，OB²+OC²=BC² ，
又△ABC为等边三角形，AC=BC，
OA²+OC²=OB²+OC² ，
故OA=OB；
（Ⅱ）∵OA，OB，OC两两垂直，
∴OC⊥平面OAB，又AB?平面OAB，
∴OC⊥AB．
取AB的中点D，连接OD、PD，
∵OA=OB，PA=PB，
∴OD⊥AB，PD⊥AB，又OD∩PD=D，
∴AB⊥平面POD．
∴AB⊥PO．
又CO∩PO=O，∴AB⊥平面POC．
∵AB?平面PAB，平面PAB⊥平面POC．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查了面面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．