Question

已知x，y满足2x-8y-5=0，求函数f(x)=

(x+2)2+(y-1)2

+

(x-5)2+(y-5)2

的最小值．

Answer 1

分析：由题意可得，本题即求直线2x-8y-5=0上的点P（x，y）到A（-2，1）和点B（5，5）的距离之和 AP+PB．利用垂直、和中点在对称轴上这两个条件，求出设A（-2，1）关于直线2x-8y-5=0的对称点A'的坐标，则线段A^′ B 的长度为所求．

解答：解：函数f(x)=

(x+2)2+(y-1)2

+

(x-5)2+(y-5)2

表示直线2x-8y-5=0上的点P（x，y）
到A（-2，1）和点B（5，5）的距离之和 AP+PB．
设A（-2，1）关于直线2x-8y-5=0的对称点A'（m，n），
过A（-2，1）且垂直于直线2x-8y-5=0的直线方程是8x+2y+14=0，
由

2x-8y-5=0 8x+2y+14=0

 可得

x=- 3 2 y=-1

，∴A'（-1，-3），
连接A'B交直线l于点P，则AP+PB=A'P+PB=A'B=10，
故函数f(x)=

(x+2)2+(y-1)2

+

(x-5)2+(y-5)2

的最小值为10．

点评：本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，两点间的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．