【题目】在平面直角坐标系中,椭圆: 的左、右焦点分别为,两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形,且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图所示,过椭圆的左焦点作直线(斜率存在且不为0)交椭圆于两点,过右焦点作直线交椭圆于两点,且,直线交轴于点,动点(异于)在椭圆上运动.
①证明: 为常数;
②当时,利用上述结论求面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)第(1)问,由两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形得到,再由点在椭圆上得到方程,最后解方程组即可得到椭圆的标准方程.(2)第(2)问第①问,先求出,再利用已知条件化简得到为常数.第②问,先求出的三角函数表达式,再研究它的取值范围.
试题解析:
(1)由两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形,可知,
所以椭圆的方程为,
又点在椭圆上,
所以,
故所求椭圆的标准方程为.
(2)①易知且不与轴垂直,
设, ,
由对称性可知,
所以,从而,
因为点, 在椭圆上,
所以 ,
因此为常数.
②当时,可知,
由 ,
因此直线的方程为,
令,所以,且已知,
因此.
设(其中为参数),由点到直线的距离公式可知
(其中),
因此
,
当时, 最大为,且此时点与不重合.
无最小值.
所以的取值范围是.
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【题目】已知函数f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常数.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若存在实数k,使得关于x的方程f(x)=k在[0,+∞)上有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为(为参数),以原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程.
(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;
(2)设曲线与轴的两个交点分别为,与轴正半轴的交点为,求直线将分成的两部分的面积比.
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【题目】在正整数数列中,由1开始依次按如下规则,将某些整数染成红色,先染1;再染3个偶数2,4,6;再染6后面最邻近的5个连续奇数7,9,11,13,15;再染15后面最邻近的7个连续偶数16,18,20,22,24,26,28;再染此后最邻近的9个连续奇数29,31,,45;按此规则一直染下去,得到一红色子数列:1,2,4,6,7,9,11,13,15,16,,则在这个红色子数列中,由1开始的第1000个数是_________
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【题目】南康某服装厂拟在年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)万件与年促销费用万元满足.已知年生产该产品的固定投入为万元,每生产万件该产品需要再投入万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).
(1)将年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数;
(2)该服装厂年的促销费用投入多少万元时,利润最大?
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