【题目】研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性,并作出其大致图像.
(1);
(2);
(3);
(4).
【答案】(1)定义域:;值域:;偶函数;在上单调递增,在上单调递减;图像见解析;(2)定义域:;值域:;奇函数:在和上单调递减;图像见解析;(3)定义域;R;值域:R;奇函数;在上单调递增;图像见解析;(4)定义域:值域:;非奇非偶函数;在上单调递增;图像见解析
【解析】
将幂函数化为根式的形式,分析其定义域和值域,由奇偶性的定义判断其奇偶性,由指数的正负结合幂函数的性质先判断出函数在第一象限内的单调性,再根据奇偶性得出单调区间,作出其大致图像.
(1),设,的定义域为,
因为,所以值域为:
显然,为偶函数,
在中,,为偶函数,所以在上单调递增,在上单调递减.
(2),设,定义域:,
由,所以值域:,
由,所以奇函数,
在中,,为奇函数,所以在上单调递减,在上单调递减.
(3),设,所以定义域;R;值域:R;
由,所以奇函数,
在中,,在上单调递增.
(4),设,由得定义域:值域:
因为定义域:,所以非奇非偶函数;
在中,,定义域为,所以在上单调递增;
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【题目】如图,已知点C是圆心为O半径为1的半圆弧上从点A数起的第一个三等分点,是直径,,直线平面.
(1)证明:;
(2)若M为的中点,求证:平面;
(3)求三棱锥的体积.
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【题目】在空格内填入“充分非必要”或“必要非充分”或“充要”或“既非充分又非必要”.
(1)“”是“”的________条件;
(2)“”是“”的________条件;
(3)已知,,“”是“”的________条件;
(4)“”是“”的________条件;
(5)“”是“AB”的________条件;
(6)“”是“”的________条件;
(7)“集合AB”是“”的________条件;
(8)已知,“”是“”的________条件.
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【题目】据调查:人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加.据测,2015年,2016年,2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位,3个单位,6个单位.若用一个函数模拟每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系,模拟函数可选用二次函数(其中为常数)或函数 (其中a,b,c为常数),又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位,请问用以上哪个函数作模拟函数较好?
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆: 的左、右焦点分别为,两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形,且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图所示,过椭圆的左焦点作直线(斜率存在且不为0)交椭圆于两点,过右焦点作直线交椭圆于两点,且,直线交轴于点,动点(异于)在椭圆上运动.
①证明: 为常数;
②当时,利用上述结论求面积的取值范围.
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【题目】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.
(1)求所选3人中女生人数ξ≤1的概率;
(2)求ξ的分布列及数学期望.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,直线过点且倾斜角为.
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程;
(2)设直线与曲线交于, 两点,求的值.
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