Question

（2012•河西区一模）某大学对在校的学生进行素质拓展测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为

8

15

．
（Ⅰ）求该小组中女生的人数；
（Ⅱ）若从中随机选3人参加测试，求所选的三人恰为两名男生一名女生的概率；
（Ⅲ）假设此项测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为

3

4

，每个男生通过的概率均为

2

3

；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）设出该小组中有n个女生，根据古典概型的概率公式得到比值，等于恰为一男一女的概率，解出关于n的方程．
（Ⅱ）根据古典概型的概率公式得到恰为两名男生一名女生的概率P=

C 2 4 C 1 6

C 3 10

=

3

10

．
（Ⅲ）由题意知ξ的取值为0，1，2，3，集合变量对应的事件，和独立重复试验的概率公式，得到变量对应的概率，写出分布列，求出期望值．

解答：解：（Ⅰ）设该小组中有n个女生，
由题意，得

C 1 n C 1 10-n

C 2 10

=

8

15

，…（2分）
解得n=6或n=4（舍），
所以该小组有6名女生．…（4分）
（Ⅱ）恰为两名男生一名女生的概率P=

C 2 4 C 1 6

C 3 10

=

3

10

…（7分）
（Ⅲ）由题意，ξ的取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=

1

3

×

1

3

×

1

4

=

1

36

，
P（ξ=1）=C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

1

4

+(

1

3

)2×

3

4

=

7

36

，
P（ξ=2）=×

2

3

×

1

3

×

3

4

+(

1

3

)2×

1

4

=

16

36

，
P（ξ=3）=(

2

3

)2×

3

4

=

12

36

．…（11分）
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 36	7 36	16 36	12 36

所以Eξ=0×

1

36

+1×

7

36

+2×

16

36

+3×

12

36

=

25

12

．…（13分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查古典概型的概率公式，考查独立重复试验的概率公式，考查利用概率与统计的知识解决实际问题．