Question

函数f（x）在[0，+∞）上是单调递减函数，f（x）≠0且f（2）=1，求函数F（x）=f（x）+

1

f(x)

在[0，2]上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：求F′（x），根据f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（2）=1判断F′（x）的符号，从而判断出函数F（x）在[0，2]上的单调性．

解答： 解：F′（x）=f′（x）-

f′(x)

f2(x)

=f′(x)(1-

1

f2(x)

)；
∵f（x）在[0，+∞）上是单调减函数，∴f′（x）＜0；
又f（2）=1，x∈[0，2]时，f（x）≥1，∴1-

1

f2(x)

≥0；
∴F′（x）≤0；
∴F（x）在[0，2]上单调递减．

点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，以及单调递减函数的定义，要对函数F（x）正确求导．