Question

（2013•蓟县二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：直线BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PAD所成角的正切值；
（Ⅲ）已知M在线段PC上，且BM=DM=2，CM=3，求二面角B-MC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由菱形的性质，得AC⊥BD；由PA⊥平面ABCD证出PA⊥BD，结合AC、PA是平面PAC内的相交直线，可得BD⊥平面PAC；
（II）过B作BE⊥AD于点E，连结PE．由PA⊥平面ABCD得PA⊥BE，结合PA∩AD=A证出BE⊥平面PAD，可得∠BPE就是直线PB与平面PAD所成角．Rt△BPE中，利用三角函数的定义算出tan∠BPE=

15

5

，即得PB与平面PAD所成角的正切值；
（III）设F为CM的中点，连结BF、DF，由等腰△BMC与等腰△DMC有公共的底面，证出∠BFD就是二面角B-MC-D的平面角．然后在△BFD中，利用余弦定理，结合题中数据算出cos∠BFD=-

1

7

，即得二面角B-MC-D的余弦值．

解答：解：（I）∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD
又∵AC、PA是平面PAC内的相交直线，
∴直线BD⊥平面PAC；
（II）过B作BE⊥AD于点E，连结PE
∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，∴PA⊥BE
∵BE⊥AD，PA∩AD=A
∴BE⊥平面PAD，可得∠BPE就是直线PB与平面PAD所成角
∵Rt△BPE中，BE=

3

，PE=

PA2+AE2

=

5

∴tan∠BPE=

BE

PE

=

15

5

，即PB与平面PAD所成角的正切值等于

15

5

；
（III）设F为CM的中点，连结BF、DF
∵△BMC中，BM=BC，∴BF⊥CM．同理可得DF⊥CM
∴∠BFD就是二面角B-MC-D的平面角
在△BFD中，BD=2，BF=DF=

7

2

，
∴由余弦定理，得cos∠BFD=

BF2+DF2-BD2

2×BF×DF

=-

1

7

由此可得二面角B-MC-D的余弦值等于-

1

7

．

点评：本题在特殊的四棱锥中证明线面垂直、求直线与平面所成角并求二面角的余弦值．着重考查了线面垂直的判定与性质、直线与平面所成角的求法和二面角的定义与求法等知识，属于中档题．