Question

已知关于x的方程x²+2

a

x-b+4=0（*），
（Ⅰ）两次抛掷一枚质地均匀的骰子，第一、二次得到的点数分别记为a，b，求使方程（*）有解的概率；
（Ⅱ）在区间[0，6]上分别任意取两个值作为a，b的值，求使方程（*）有解的概率．

Answer 1

考点：几何概型,古典概型及其概率计算公式

专题：综合题,概率与统计

分析：（Ⅰ）由方程（*）有解，得△=4a+4b-16≥0⇒a+b≥4．基本事件共6×6=36个，其中a+b≥4基本事件有36-3=33个，由此能求出方程有实根的概率．
（Ⅱ）全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤6，0≤b≤6}，其面积为S=6×6=36，又构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤6，0≤b≤6，a+b≥4}，求出其面积，由此能求出方程有实根的概率．

解答： 解：方程（*）的判别式△=(2

a

)2-4×(-b+4)=4a+4b-16
由方程（*）有解，得△=4a+4b-16≥0⇒a+b≥4
（I）两次抛掷一枚质地均匀的骰子全部结果如下：

a b	1	2	3	4	5	6
1	（1，1）	（2，1）	（3，1）	（4，1）	（5，1）	（6，1）
2	（1，2）	（2，2）	（3，2）	（4，2）	（5，2）	（6，2）
3	（1，3）	（2，3）	（3，3）	（4，3）	（5，3）	（6，3）
4	（1，4）	（2，4）	（3，4）	（4，4）	（5，4）	（6，4）
5	（1，5）	（2，5）	（3，5）	（4，5）	（5，5）	（6，5）
6	（1，6）	（2，6）	（3，6）	（4，6）	（5，6）	（6，6）

…（4分）
从而基本事件的总个数为36，其中使△≥0，即a+b≥4的有36-3=33个，
所以方程（*）有解的概率P=

33

36

=

11

12

…（6分）
（II）如图建立平面直角坐标系：a，b分别用横纵轴来表示，当坐标平面上的点在直线EF的右上方时，a+b≥4，
方程（*）有解，
所以方程（*）有解的概率P=1-

S△OEF

SOMNT

=1-

1 2 ×42

36

=

7

9

（12分）

点评：本题考查古典概率、几何概型概率及其运算公式，解题时要认真审题，仔细解答．