Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁=2，且

1

a1

，

1

a2

，

1

a4

成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=a_n，求数列{nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的性质列出方程求得公比，即可得出结论；
（2）利用错位相减法求得数列的和即可．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由(

1

a2

)2=

1

a1

•

1

a4

，得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）．
因为d≠0，所以d=a₁=2，
所以a_n=2n．（4分）
（2）b₁+2b₂+4b₃+…+2^n-1b_n=a_n①
b₁+2b₂+4b₃+…+2^n-1b_n+2ⁿb_n+1=a_n+1②
②-①得：2ⁿ•b_n+1=2．
∴b_n+1=2^1-n．
当n=1时，b₁=a₁=2，∴b_n=2^2-n．（8分）
T_n=

1

2-1

+

2

20

+

3

21

+…+

n

2n-2

，

1

2

T_n=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

，上两式相减得

1

2

T_n=2+

1

20

+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-2

-

n

2n-1

=2+2•（1-

1

2n-1

）-

n

2n-1

，
∴T_n=8-

n+2

2n-2

．（12分）

点评：本题主要考查等比数列的性质及数列求和的方法错位相减法知识，考查学生的运算求解能力，属中档题．