Question

已知函数f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

，g（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

-…-

x2013

2013

．设 F（x）=f（x+4）．g（x-4），且函数F（x）的零点在区间[a-1，a]或[b-1，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则a+b的值为（　　）

• A、-1
• B、0
• C、1
• D、2

Answer 1

考点：函数的零点,二项式定理的应用

专题：函数的性质及应用

分析：可通过导数法求得f（x）与g（x）的零点，从而可得f（x+4）和g（x-4）的零点，继而函数F（x）的零点在区间[a-1，a]或[b-1，b]（a＜b，a，b∈Z）内，求得a，b的值．

解答： 解：∵f′（x）=1-x+x²+…+x²⁰¹²，
①x=0时，f′（0）=1＞0；
②当x=-1时，f′（-1）=2013＞0；
③当x≠0，-1时，f′（x）=

1-(-x)2013

1-(-x)

=

1+x2013

1+x

，无论x＞-1，还是x＜-1，都有f′（x）＞0．
综上可知：对任意x∈R，都有f′（x）＞0．
∴函数f（x）单调递增，也就是说，函数f（x）至多有一个零点．
由函数零点的判定定理可知：函数f（x）的零点x₀∈（-1，0）．
由-1＜x+4＜0得：-5＜x＜-4，
∴f（x+4）在[-5，-4]有唯一零点．
又g（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

-…-

x2013

2013

．
∴g′（x）=（-1+x）+（-x²+x³）+…-x²⁰¹²
=-[（1-x）+（x²-x³）+…+x²⁰¹²]
=-f′（x）＜0，
∴g（x）在R上单调递减；
又g（1）＞0，g（2）＜0，
∴g（x）在（1，2）上有唯一零点，
由1＜x-4＜2得：5＜x＜6，
∴g（x-4）在[5，6]上有唯一零点．
∵F（x）=f（x+4）．g（x-4），且函数F（x）的零点在区间[a-1，a]或[b-1，b]（a＜b，a，b∈Z）内
∴F（x）的零点即为f（x+4）和g（x-4）的零点．
∴a=-4，b=6，
即a+b=2．
故选：D．

点评：本题考查函数的零点，考查利用导数判断函数的单调性及零点存在定理的应用，考查综合分析与转化的能力，属于难题．