Question

正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为

 

．

Answer 1

考点：球内接多面体

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：正三棱锥扩展为正方体，它的对角线的长度，就是外接球球的直径，求出正三棱锥的外接球半径；再利用三棱锥的体积的两种求法，列出关于该正三棱锥的内切球的半径的等式，求出内切球的半径，最后求得内切球与外接球的半径之比即可．

解答： 解：正三棱锥扩展为正方体，它的对角线的长度，就是外接球的直径，
设侧棱长为a，则它的对角线的长度为：

3

a
∴外接球的半径为：

3

2

a，
再设正三棱锥内切球的半径为r，根据三棱锥的体积的两种求法，得

1

3

×

1

2

×a3=

1

3

×[

1

2

×a2×3+

3

4

(

2

a)2]×r
∴r=

3- 3

6

a，
∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为

3- 3 6 a

3 2 a

=（

3

-1）：3．
故答案为：（

3

-1）：3．

点评：本题考查棱锥的结构特征，内切球、外接球的知识，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．