Question

16．正整数a、b满足1＜a＜b，若关于x、y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4033}\\{y=|x-1|+|x-a|+|x-b|}\end{array}\right.$有且只有一组解，则a的最大值为4031．

Answer 1

分析 化简可得4033-2x=|x-1|+|x-a|+|x-b|，从而讨论以去掉绝对值号，并确定方程的解的个数及条件，从而解得．

解答 解：由方程组消y可得，
4033-2x=|x-1|+|x-a|+|x-b|，
当x≤1时，
4033-2x=1-x-x+a-x+b，
故x=b+a-4032，
故当b+a≤4033时，有一个解；
即a≤4031时，有一个解；否则无解；
当1＜x≤a时，
4033-2x=x-1-x+a-x+b，
故x=4034-a-b，
故当-a＜4032-a-b≤1，即b＜4032且a+b≥4301时，有一个解；
即2015≤a≤4030，有一个解，
否则无解；
当1＜x≤b时，
4033-2x=x+a+b-1，
故3x=4034-a-b，
故当3＜4034-a-b≤3b，即a+b＜4031且a+4b≥4304时，有一个解；
即$\frac{4300}{5}$≤a≤2014，方程有一个解，
否则无解；
当x＞b时，
4033-2x=3x+a-b-1，
故5x=4034-a+b，
故当4034-a+b＞5b，即a+4b＜4304时，有一个解；
否则无解；
综上所述，
当a取最大值4031时，方程有一个解，
故答案为：4031．

点评 本题考查了绝对值方程的解法及分类讨论的思想方法应用，属于中档题．