Question

6．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n＞0（n∈N^•），S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=3a_n+2n-7，T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n及T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差数列，可得：S₅+a₅-（S₃+a₃）=S₄+a₄-（S₅+a₅），化为：4a₅=a₃，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=3a_n+2n-7=$3×（\frac{1}{2}）^{n}$+2n-7，利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差数列．
∴S₅+a₅-（S₃+a₃）=S₄+a₄-（S₅+a₅），
∴2a₅+a₄-a₃=-2a₅+a₄，
∴4a₅=a₃，
设等比数列{a_n}的公比为q，则q²=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}$=$\frac{1}{4}$．
∵a_n＞0，
∴q＞0，从而q=$\frac{1}{2}$．
故数列{a_n}的通项公式为a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）b_n=3a_n+2n-7=$3×（\frac{1}{2}）^{n}$+2n-7，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$3×\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{n（-5+2n-7）}{2}$
=n²-6n+3-$\frac{3}{{2}^{n}}$．
当n≥3时，∵（n-3）²-6和$-\frac{3}{{2}^{n}}$都是关于n的增函数，
∴当n≥3时，T_n是关于n的增函数，即T₃＜T₄＜T₅＜…．
∵T₁=-$\frac{7}{2}$=-$\frac{28}{8}$，T₂=-$\frac{23}{4}$=-$\frac{46}{8}$，T₃=-$\frac{51}{8}$，
∴T₁＞T₂＞T₃．
于是（T_n）_min=T₃=-$\frac{51}{8}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．