Question

已知函数f（x）是R上的偶函数，满足f（x）=-f（x+1），当x∈[2011，2012]时，f（x）=x-2013，则（　　）

• A．f(sin

  π

  3

  )＞f(cos

  π

  3

  )
• B．f（sin2）＞f（cos2）
• C．f(sin

  π

  5

  )＜f(cos

  π

  5

  )
• D．f（sin1）＜f（cos1）

Answer 1

分析：由f（x）=-f（x+1）故函数的周期为2．再由当x∈[2011，2012]时，f（x）=x-2013，可得f（x）在[-1，0]上是
增函数．再由f（x）是R上的偶函数，可得f（x）[0，1]上是减函数．检验各个选项是否正确即可．

解答：解：由f（x）=-f（x+1）可得 f（x）=f（x+2），故函数的周期为2．
当x∈[2011，2012]时的图象与x∈[-1，0]时的图象形状一样，只是左右位置不同．
由于x∈[2011，2012]时，f（x）=x-2003，这是一个增函数，所以f（x）在[-1，0]上是增函数．
已知函数f（x）是R上的偶函数，则在f（x）[0，1]上是减函数．
由于 1＞sin

π

3

＞cos

π

3

＞0，∴f(sin

π

3

)＜f(cos

π

3

)，故A错．
由于 1＞|sin2|＞|cos2|＞0，∴f（|sin2|）＜f（|cos2|），故B错．
由于 0＜sin

π

5

＜cos

π

5

＜1，∴f（sin

π

5

 ）＜f（cos

π

5

 ），故C正确．
由于 1＞sin1＞cos1＞0∴f（sin1）＜f（cos1），故D错．
故选C．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题．