Question

给出下列命题：
①函数y=sin|x|的最小正周期为π；
②若函数的值域为R，则-2＜a＜2；
③若函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=-f（2-x），且最小正周期为3，则f（x）的图象关于点对称；
④极坐标方程 4sin²θ=3 表示的图形是两条相交直线；
⑤若函数，则存在无数多个正实数M，使得|f（x）|≤M成立；
其中真命题的序号是    ．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

【答案】分析：对于①，由于函数y=sin|x|不是周期函数，故排除之．对于②，由题意知对于二次函数y=x²-ax+1，应有△=a²-4＞0，解得a的范围即可进行判断；对于③，若函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=-f（2-x），则 f（x）+f（2-x）=0．再由f（x）的最小正周期为3，可得f（x）的图象关于点（1，0）对称，故③正确．对于④，将极坐标方程 4sin²θ=3 化成直角坐标方程后判断．⑤先画出函数的图象，从图象上观察可知．
解答：解：由于函数y=sin|x|不是周期函数，故排除①．
若函数的值域为R，则对于二次函数y=x²-ax+1，应有△=a²-4＞0，解得 a＜-2，或 a＞2，故排除②．
若函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=-f（2-x），则 f（x）+f（2-x）=0．再由f（x）的最小正周期为3，可得 f（x-3）+f（2-x）=0．
由于 =-，故f（x）的图象关于点（1，0）对称，故③正确．
由于极坐标方程 4sin²θ=3 即 4ρ²sin²θ=3ρ²，即 4y²=3（x²+y²），即 y=±x，故表示的图形是两条相交直线，故④正确．
⑤如图，从函数的图象上观察可知，当x＞0时，其最大值不超过3，
故当M＞3时，即存在无数多个正实数M，使得|f（x）|≤M成立；故⑤正确．
其中真命题的序号是 ③④⑤．
故答案为：③④⑤．
点评：本小题主要考查命题的真假判断与应用、函数周期性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．