Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点F₁，F₂和上下两个顶点B₁，B₂是一个边长为2且∠F₁B₁F₂为60°的菱形的四个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F₂，斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF₂的斜率为k′．试问：k•k′是否为定值？若为定值请求出；若不为定值请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出a=2，b=

3

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设过点P（1，0）的直线l的方程为：y=k（x-1），设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），将直线l方程y=k（x-1）代入椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1，得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，点P在椭圆内，△＞0恒成立，直线AE的方程为y=

y1

x1-2

(x-2)，直线AF的方程为y=

y2

x2-2

(x-2)，由此利用韦达定理、直线的斜率公式结合已知条件推导出k•k′=-

3

4

．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点F₁，F₂和上下两个顶点B₁，B₂是一个边长为2且∠F₁B₁F₂为60°的菱形的四个顶点．
∴a=2，b=

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设过点P（1，0）的直线l的方程为：y=k（x-1），
设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
将直线l方程y=k（x-1）代入椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1，
整理，得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∵点P在椭圆内，∴直线l与椭圆相交，△＞0恒成立，
且x₁+x₂=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

，
直线AE的方程为y=

y1

x1-2

(x-2)，直线AF的方程为y=

y2

x2-2

(x-2)，
令x=3，得M（3，

y1

x1-2

），N（3，

y2

x2-2

），
∴P（3，

1

2

（

y1

x1-2

+

y2

x2-2

）），
直线PF₂的斜率为k′=

1 2 ( y1 x1-2 + y2 x2-2 )

3-1

=

1

4

(

y1

x1-2

+

y2

x2-2

)=

1

4

•

y2x1+x2y1-2(y1+y2)

x1x2-2(x1+x2)+4

=

1

4

•

2kx1x2-3k(x1+x2)+4k

x1x2-2(x1+x2)+4

，
将x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

代入上式，得：
k′=

1

4

•

2k• 4k2-12 4k2+3 -3k• 8k2 4k2+3 +4k

4k2-12 4k2+3 -2• 8k2 4k2+3 +4

=-

3

4k

，
∴k•k′=-

3

4

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两直线斜率之积是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．