Question

已知函数f(x)=

3

sinx+cos(x+θ)的定义域为R，最大值为1（其中θ为常数，且-

π

2

≤θ≤

π

2

）．
（1）求角θ的值；
（2）若f（x₀）=1，求cos2x₀的值．

Answer 1

（1）由f(x)=

3

sinx+cos(x+θ)（θ为常数）
=

3

sinx+cosxcosθ-sinxsinθ
=(

3

-sinθ)sinx+cosθ•cosx≤

( 3 -sinθ)2+cos2θ

依题意知：(

3

-sinθ)2+cos2θ=1
化简为：sinθ=

3

2

又-

π

2

≤θ≤

π

2

，故θ=

π

3

•…（6分）
（2）由（1）可知f(x)=

3

2

sinx+

1

2

cosx=sin(x+

π

6

)
∴sin(x0+

π

6

)=1∴x0=2kπ+

π

3

(k∈z)．
∴2x0=4kπ+

2π

3

(k∈z)
∴cos2x0=-

1

2

．…（12分）