Question

7．已知f（x）=sinx-cosx-ax．
（1）若f（x）在$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上单调，求实数a的取值范围；
（2）证明：当$a=\frac{2}{π}$时，f（x）≥-1在x∈[0，π]上恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论x 范围，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最小值，证出结论即可．

解答 解：（1）$f'（x）=cosx+sinx-a=\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）-a$…（1分）
若f（x）在$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上单调递增，则当$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，f'（x）≥0恒成立，
当$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$时，$x+\frac{π}{4}∈[{-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}]，sin（{x+\frac{π}{4}}）∈[{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}]，\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）∈[{-1，\sqrt{2}}]$，
此时a≤-1；…（4分）
若f（x）在$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上单调递减，同理可得$a≥\sqrt{2}$…（5分）
所以a的取值范围是$（{-∞，-1}]∪[{\sqrt{2}，+∞}）$…（6分）
（2）$a=\frac{2}{π}$时，$f（x）=sinx-cosx-\frac{2}{π}x，f'（x）=\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）-\frac{2}{π}$…（7分）
当x∈[0，π]时，f'（x）在$[{0，\frac{π}{4}}]$上单调递增，在$[{\frac{π}{4}，π}]$上单调递减，
$f'（0）=1-\frac{2}{π}＞0，f'（x）=-1-\frac{2}{π}＜0$…（9分）
∴存在${x_0}∈（{\frac{π}{4}，π}）$，使得在[0，x₀）上f'（x）＞0，在（x₀，π]上f'（x）＜0，
所以函数f（x）在[0，x₀）上单调递增，在（x₀，π]上单调递减…（11分）
故在[0，π]上，f（x）_min=min{f（0），f（π）}=-1，
所以f（x）≥-1在x∈[0，π]上恒成立…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及三角函数的性质，是一道中档题．