Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos（x-$\frac{π}{6}$），-1），$\overrightarrow{b}$=（cos（x-$\frac{π}{6}$），cos²x），x∈R，函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$
（1）求函数f（x）图象的对称中心
（2）若x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求函数f（x）的最大值和最小值，并求出f（x）取得最值时x的大小．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后利用正弦函数的对称中心求解即可．
（2）求出相位的范围，利用正弦函数的最值求解即可．

解答 解：（1）$f（x）={cos^2}（x-\frac{π}{6}）-{cos^2}x=\frac{{1+cos（2x-\frac{π}{3}）}}{2}-\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{1}{2}[cos（2x-\frac{π}{3}）-cos2x]=\frac{1}{2}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x）=\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）$．
令$2x-\frac{π}{6}=kπ，k∈Z$，得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}，k∈Z$．
∴函数f（x）的对称中心为$（\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}，0），k∈Z$．
（2）∵$-\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$∴$-\frac{2π}{3}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$．
当$2x-\frac{π}{6}=-\frac{π}{2}$，即$x=-\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最小值$-\frac{1}{2}$．
当$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得最大值$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查平面的数量积的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．