Question

数列{a_n} 中a₁=，前n项和S_n满足S_n+1-S_n=（n∈N^*）．
（ I ） 求数列{a_n}的通项公式a_n以及前n项和S_n；
（Ⅱ）记  （n∈N^*）求数列{b_n} 的前n项和T_n；
（Ⅲ）试确定T_n与（n∈N^*）的大小并证明．

Answer 1

【答案】分析：（I）由得（n∈N^*），由此能求出数列{a_n}的通项公式a_n以及前n项和S_n．
（Ⅱ）由，知，再由错位相减法能求出数列{b_n} 的前n项和T_n．
（Ⅲ）由，知确定T_n与的大小关系等价于比较2ⁿ与2n+1的大小，经分类讨论知n=1，2时，n=3时．
解答：解：（I）得（n∈N^*）（1分）
又a₁=，故（n∈N^*）（2分）
从而（4分）
（Ⅱ）由（I），（5分）（6分）
两式相减，得（7分）
==（8分）
所以（9分），
（Ⅲ）
于是确定T_n与的大小关系等价于比较2ⁿ与2n+1的大小（10分）
n=1时2＜2+1，n=2时2²＜2×2+1，n=3时2³＞2×3+1（11分）
令g（x）=2^x-2x-1，g′（x）=2^xln2-2，x＞2时g（x）为增函数，（12分）
所以n≥3时g（n）≥g（3）=1＞0，2ⁿ≥2n+1，（13分）
综上所述n=1，2时n=3时（14分）
点评：本题考查数列的通项公式、前n项和的求法和数列与不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意错位相关法的合理运用，恰当地进行等价转化．