Question

已知圆C1：x2+y2-2x-4y+4=0与直线l：x+2y-4=0相交于A，B两点．
（Ⅰ）求弦AB的长；
（Ⅱ）若圆C₂经过E（1，-3），F（0，4），且圆C₂与圆C₁的公共弦平行于直线2x+y+1=0，求圆C₂的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出圆心到直线l的距离，再利用勾股定理即可求出弦AB的长；
（II）设圆C₂的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，与圆C1：x2+y2-2x-4y+4=0方程相减，可得公共弦所在的直线方程为：（D+2）x+（E+2）y+F=0，利用圆C₂与圆C₁的公共弦平行于直线2x+y+1=0，可得D=2E+6，再根据圆C₂经过E（1，-3），F（0，4），可构建方程组，从而可求圆C₂的方程．

解答：解：（Ⅰ）圆心到直线l的距离 d=

5

5

，（2分）
所以|AB|=2

1- 1 5

=

4 5

5

．                    　（4分）
（II）设圆C₂的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圆C1：x2+y2-2x-4y+4=0
∴两方程相减，可得公共弦所在的直线方程为：（D+2）x+（E+4）y+F-4=0，
∵圆C₂与圆C₁的公共弦平行于直线2x+y+1=0，
∴

D+2

2

=

E+4

1

，即D=2E+6．                        （6分）
又因为圆C₂经过E（1，-3），F（0，4），
所以

1+9+D-3E+F=0 16+4E+F=0 D=2E+6

⇒

D=6 E=0 F=-16.

所以圆C₂的方程为x²+y²+6x-16=0．（8分）

点评：本题考查圆中的弦长问题，考查两圆的公共弦，考查圆的方程，解题的关键是利用圆的特征，确定公共弦的方程．