Question

17．在Rt△ABC中，∠C=90°，则$\frac{a+b}{c}$的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由已知利用三角形内角和定理，诱导公式，特殊角的三角函数值可得sinB=cosA，sinC=1，进而利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简所求可得$\frac{a+b}{c}$=$\sqrt{2}$sin（A+45°），结合范围A+45°∈（45°，135°），利用正弦函数的性质可求取值范围．

解答 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，可得：sinB=cosA，sinC=1，
∴$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+45°），
∵A∈（0°，90°），
∴A+45°∈（45°，135°），
∴sin（A+45°）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$\frac{a+b}{c}$=$\sqrt{2}$sin（A+45°）∈（1，$\sqrt{2}$]．
故答案为：（1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，特殊角的三角函数值，正弦定理，两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，熟练掌握相关公式定理的应用是解题的关键，属于中档题．