Question

7．已知AC，BD为圆O：x²+y²=9的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，$\sqrt{2}$），则四边形ABCD的面积的最大值为15．

Answer 1

分析 由圆的方程找出圆心坐标为（0，0），半径r=3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，再由M的坐标，根据矩形的性质及勾股定理得到d₁²+d₂²=OM²，由M和O的坐标，利用两点间的距离公式求出OM²，进而得到d₁²+d₂²的值，再由圆的半径，弦心距及弦长的一半，由半径的值表示出|AB|与|CD|的长，又四边形ABCD的两对角线互相垂直，得到其面积为两对角线乘积的一半，表示出四边形的面积，并利用基本不等式变形后，将求出的d₁²+d₂²的值代入，即可得到面积的最大值．

解答 解：∵圆O：x²+y²=9，
∴圆心O坐标（0，0），半径r=3，
设圆心O到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，
∵M（1，$\sqrt{2}$），
则d₁²+d₂²=OM²=1²+（$\sqrt{2}$）²=3，
又|AC|=2$\sqrt{9-{{d}_{1}}^{2}}$，|BD|=2$\sqrt{9-{{d}_{2}}^{2}}$
∴四边形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|=2$\sqrt{9-{{d}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{9-{{d}_{2}}^{2}}$≤18-（d₁²+d₂²）=18-3=15，
当且仅当d₁² =d₂²时取等号，
则四边形ABCD面积的最大值为15．
故答案为：15．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，对角线互相垂直的四边形面积的求法，以及基本不等式的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．