Question

已知数列{a_n}，a_n≥0，a₁=0，a_n+1²+a_n+1-1=a_n²（n∈N*），记：S_n=a₁+a₂+…+a_n，
，求证：当n∈N*时，
（Ⅰ）a_n＜a_n+1；
（Ⅱ）S_n＞n-2；
（Ⅲ）T_n＜3。

Answer 1

证明：（Ⅰ）用数学归纳法证明．
①当n=1时，因为a₂是方程的正根，所以；
②假设当n=k（k∈N*）时，，
因为，
所以，
即当n=k+1时，也成立．
根据①和②，可知对任何n∈N*都成立；
（Ⅱ）由
得，
因为，所以，
由，
所以．
（Ⅲ）由，
得，
所以，
于是，
故当n≥3时，，
又因为，
所以。