Question

【题目】已知函数，，

（Ⅰ）当，时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当，时，若方程有两个不同的实数解，求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）详见解析

【解析】

（Ⅰ）求出的导函数，求出函数在时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；

（Ⅱ）对，都成立，则对，，恒成立，构造函数，求出的最大值可得的范围；

（Ⅲ）由，得，构造函数，将问题转化为证明，然后构造函数证明即可.

解：（Ⅰ）当时，时，，∴当时，，

∴，∴当时.

∴曲线在处的切线方程为；

（Ⅱ）当时，对，都成立，则对，恒成立，

令，则.令，则，

∴当，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，

∴，∴，

∴的取值范围为；

（Ⅲ）当，时，由，得，

方程有两个不同的实数解.

令.则..令.则，

∴当时..此时单调递增；当时..此时单调递减，

∴，∴，又，，

∴，∴，

∴只要证明，就能得到.即只要证明，

令，则，

∴在上单调减，则，

∴，∴，

∴，∴，即，证毕.