Question

5．已知函数f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$．
（1）求曲线f（x）上任意一点切线的斜率的取值范围；
（2）当m满足什么条件时，f（x）在区间（2m-1，m）为增函数．

Answer 1

分析 （1）求得P点处的导数，运用换元法化为二次函数的值域问题，即可得到范围；
（2）求得导数，可得得到增区间，根据单调性，可得不等式组，注意定义域，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）直线l在P点（x₀，y₀）的切线斜率k=f′（x₀）=$\frac{4-4{{x}_{0}}^{2}}{（1+{{x}_{0}}^{2}）^{2}}$=-$\frac{4}{1+{{x}_{0}}^{2}}$+$\frac{8}{（1+{{x}_{0}}^{2}）^{2}}$，
令t=$\frac{1}{1+{{x}_{0}}^{2}}$，则0＜t＜1，k=8t²-4t=8（t-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{2}$，
当t=$\frac{1}{4}$时，k_min=-$\frac{1}{2}$，t=1时，k_min=4，
∴-$\frac{1}{2}$≤k≤4．
（2）f′（x）=$\frac{4（1-{x}^{2}）}{（1+{x}^{2}）^{2}}$≥0，得-1≤x≤1，
∴f（x）在[-1，1]是增函数，又f（x）在（2m-1，m）上单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{2m-1≥-1}\\{2m-1＜m}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{m≥0}\\{m＜1}\end{array}\right.$，
则0≤m＜1．
即当0≤m＜1时，f（x）在区间（2m-1，m）为增函数．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查换元法的运用，以及二次函数的值域及不等式的解法，属于中档题和易错题．