Question

14．已知函数f（x）在[2，+∞）单调递增，且对任意实数x恒有f（2+x）=f（2-x），若f（1-2x²）＜f（1+2x-x²），则x的取值范围是（-2，0）．

Answer 1

分析 由题意可得函数的图象关于直线x=2对称，函数f（x）在[2，+∞）单调递增，f（x）在（-∞，2）上单调第减，由不等式可得|（1-2x²）-2|＜|（1+2x-x²）-2|，化简求得x的取值范围．

解答 解：∵对任意实数x恒有f（2+x）=f（2-x），
故函数的图象关于直线x=2对称，
∵函数f（x）在[2，+∞）单调递增，∴f（x）在（-∞，2）上单调递减，
故由f（1-2x²）＜f（1+2x-x²），可得|（1-2x²）-2|＜|（1+2x-x²）-2|，
即2x²+1＜x²-2x+1，即 x²+2x＜0，求得-2＜x＜0，
故答案为：（-2，0）．

点评 本题主要考查函数的图象的对称性和单调性的综合应用，属于中档题．