Question

已知数列的前n项和为,,且(),数列满足,,对任意,都有。

（1）求数列、的通项公式;

（2）令.

①求证:；

②若对任意的，不等式恒成立，试求实数λ的取值范围.

 

Answer 1

（1），；（2）。

【解析】

试题分析：（1）根据利用求出数列的递推关系式，再利用累乘法数列的通项公式；（2）利用错位相减法求出，易知，再根据数列的单调性可知；

（3）把代入整理得，然后参变量分离

得，构造函数，求的最大值，或者是直接构造函数

，然后对二次项系数进行讨论，转化为求二次函数最值问题。

（1）,

∵，∴ ()，

两式相减得，()

∴，即( ),

∴()，

又,也满足上式，故数列的通项公式()。

由，知数列是等比数列，其首项、公比均为，

∴数列的通项公式。

（2）（1）∴ ①

∴ ②

由①?②,得,

∴

又恒正,

故是递增数列,， ∴ 。

又不等式

即，即（）恒成立.

方法一：设（），

当时，恒成立，则满足条件；

当时，由二次函数性质知不恒成立；

当时，由于对称轴，则在上单调递减，

恒成立，则满足条件，

综上所述，实数λ的取值范围是。

方法二：也即（）恒成立，

令．则,

由，单调递增且大于0，∴单调递增，

当时，，且，故，∴实数λ的取值范围是。

考点：（1）利用及累乘法求数列的通项公式；（2）利用错位相减法进行数列求和；（3）数列单调性的判断；（4）构造函数解决不等式恒成立问题。