Question

已知等比数列{a_n}的前n项和A_n=(

1

3

)n-c．数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）若数列{

1

bnbn+1

}前n项和为T_n，问T_n＞

1001

2010

的最小正整数n是多少？．

Answer 1

分析：（1）a1=A1=

1

3

-c，  a2=A2-A1=(

1

9

-c)-(

1

3

-c)=-

2

9

，a3=A3-A2=(

1

27

-c)-(

1

9

-c)=-

2

27

，又数列{a_n}成等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由

Sn

-

Sn-1

=1(n≥2)，  S1=b1=1，知数列{

Sn

}是首项为1公差为1的等差数列．所以S_n=n²．由此能求出数列{的通项公式．
（3）Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

n

2n+1

．由Tn=

n

2n+1

＞

1001

2010

得n＞

1001

8

，由此能求出满足Tn＞

1001

2010

的最小正整数．

解答：解：（1）a1=A1=

1

3

-c，  a2=A2-A1=(

1

9

-c)-(

1

3

-c)=-

2

9

，a3=A3-A2=(

1

27

-c)-(

1

9

-c)=-

2

27

，
又数列{a_n}成等比数列，
a1=

a22

a3

=

4 81

- 2 27

=-

2

3

=

1

3

-c，
所以 c=1；
又公比q=

a2

a1

=

1

3

，
所以an=-

2

3

×(

1

3

) n-1=-2×(

1

3

)n，n∈N^*．
（2）∵

Sn

-

Sn-1

=1(n≥2)，  S1=b1=1，
∴数列{

Sn

}是首项为1公差为1的等差数列．
∴

Sn

=1+（n-1）×1．
∴S_n=n²．
当n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
∴b_n=2n-1（n∈N^*）；                
（3）Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

 )+…+

1

2

×

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．
由Tn=

n

2n+1

＞

1001

2010

得n＞

1001

8

，
故满足Tn＞

1001

2010

的最小正整数为126．

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．