Question

9．各项均为正数的{a_n}前n项积为T_n=（$\frac{1}{4}$）${\;}^{{n}^{2}-6n}$，b_n=log₂a_n，求{b_n}前n项和S_n最大时，n的值．

Answer 1

分析 通过计算可知当n≥2时a_n=4^7-2n，进而可知数列{a_n}的通项公式a_n=4^7-2n，利用对数的运算性质可知数列{b_n}是以10为首项、-4为公差的等差数列，通过配方、计算即得结论．

解答 解：依题意，当n≥2时a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{\frac{1}{{4}^{{n}^{2}-6n}}}{\frac{1}{{4}^{（n-1）^{2}-6（n-1）}}}$=4^7-2n，
又∵a₁=T₁=$\frac{1}{{4}^{1-6}}$=4⁵满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=4^7-2n，
∴b_n=log₂a_n=14-4n，
∴数列{b_n}是以10为首项、-4为公差的等差数列，
∴S_n=10n+$\frac{n（n-1）（-4）}{2}$
=-2n²+12n
=-2（n-3）²+18，
∴当S_n取最大值时n=3．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，涉及对数的运算性质，注意解题方法的积累，属于中档题．