Question

(本小题满分16分)
已知函数,其中.
（1）当时,求函数在处的切线方程;
（2）若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求的取值范围;
（3）已知,如果存在,使得函数在处取得最小值,试求的最大值.

Answer 1

（1）（2）（3）

解析试题分析：(1)当时,,则,故………2分
又切点为,故所求切线方程为,即……………………4分
(2)由题意知,在区间(1,2)上有不重复的零点,
由,得,因为,所以……7分
令,则,故在区间(1,2)上是增函数,
所以其值域为,从而的取值范围是……………………………9分
(3),
由题意知对恒成立,即对恒成立,即  ①对恒成立 ……………………………11分
当时,①式显然成立;
当时,①式可化为    ②,
令,则其图象是开口向下的抛物线,所以 ……………13分
即,其等价于   ③ ,
因为③在时有解,所以,解得,
从而的最大值为……………………………16分
考点：导数的几何意义及函数零点，不等式与函数的转化
点评：不等式恒成立问题常转化为函数最值问题，不等式问题常转化为函数问题求解