Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有＞0
（1）．若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；
（2）．若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对x∈[-1，1]恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵对任意a，b，当a+b≠0，都有＞0
∴＞0，
∵a＞b，
∴a-b＞0，
∴f（a）+f（-b）＞0，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）＞0，
∴f（a）＞f（b）
（2）由（1）知f（x）在R上是单调递增函数，
又f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，
得f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（9^x-3^x+2），
故k•3^x＜9^x-3^x+2，
∴k＜，
令t=3^x，
∵x∈[-1，1]恒成立，
∴t=，
∴k＜t+，
而t+≥2，
当且仅当t=，t=时，取等号，
即k＜2-1．
分析：（1）由a＞b，得＞0，所以f（a）+f（-b）＞0，由f（x）是定义在R上的奇函数，能得到f（a）＞f（b）．
（2）由f（x）在R上是单调递增函数，f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，得f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（9^x-3^x+2），故k•3^x＜9^x-3^x+2，由此能够求出k的范围．
点评：本题考查解函数恒成立问题的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易出错．解题时要认真审题，注意转化思想的灵活运用．