Question

已知函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值，求a的值；
（2）在满足（1）的条件下，求函数f（x）在[-2，0]上的最值及相应自变量x的值；
（3）讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，然后根据f'（-1）=0可求a的值．
（2）将（1）中a的值代入确定函数f（x）的解析式后求导数，然后根据导函数的正负情况判断函数的单调性和极值点，进而可求出在[-2，0]上的最值及相应自变量x的值．
（3）对函数f（x）进行求导得到f'（x）=3x²+2ax+1为二次函数，当△≤0时，f'（x）≥0，所以函数f（x）在R上是增函数；当△＞0时，求出两根，然后求出对应的f'（x）＞0和f'（x）＜0的x的范围即可得到原函数单调增减区间．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+1
因为函数f（x）在x=-1处取得极值所以f'（-1）=0
解得a=2
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²+x+1，f'（x）=3x²+4x+1
令f'（x）=3x²+4x+1=0解得x=-1，x=-

1

3

从上表可以看出f(x)极小值=

23

27

＞0，f（x）_极大值=1＞0，
所以函数f（x）有零点且只有一个5
又函数f（x）在[-2，-1]上连续，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函数f（x）的零点介于-2和-1之间．7

（3）f'（x）=3x²+2ax+1，△=4a²-12=4（a²-3）
当a²≤3，即-

3

＜a＜

3

时，△≤0，f'（x）≥0，所以函数f（x）在R上是增函数
当a²＞3，即a＞

3

或a＜-

3

时，△＞0，
解f'（x）=0得两根为x1=

-a- a2-3

3

，x2=

-a+ a2-3

3

（显然x₁＜x₂）
当x∈（-∞，x₁）时f'（x）＞0；x∈（x₁，x₂）时f'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）时f'（x）＞0
所以函数f（x）在(-∞，

-a- a2-3

3

)，(

-a+ a2-3

3

，+∞)上是增函数；
在(

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

)上是减函数14
综上：当-

3

＜a＜

3

时，函数f（x）在R上是增函数；
当a＞

3

或a＜-

3

时，函数f（x）在(-∞，

-a- a2-3

3

)，(

-a+ a2-3

3

，+∞)上是增函数；在(

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

)上是减函数

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．属基础题．