Question

直线l过抛物线y²=2px(p＞0）的焦点且与抛物线有两个交点，对于抛物线上另外两点A、B直线l能否平分线段AB？试证明你的结论.

Answer 1

直线l不能垂直平分线段AB

如果直线l垂直平分线段AB，连AF、BF，∵F（，0）∈l. ∴|FA|=|FB|,设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),显然x₁>0,x₂>0,y₁≠y₂,
于是有（x₁–）²+y₁²=(x₂–)²+y₂²,
整理得:（x₁+x₂–p)(x₁–x₂)=y₂²–y₁²=–2p(x₁–x₂).
显然x₁≠x₂(否则AB⊥x轴，l与x轴重合，与题设矛盾）得: 
x₁+x₂–p=–2p即x₁+x₂=–p<0,这与x₁+x₂>0矛盾，
故直线l不能垂直平分线段AB.