Question

对任意x，y∈R，|x-1|+|x|+|y-1|+|x+1|的最小值为

 

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Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,绝对值不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：令f（x）=|x-1|+|x|+|x+1|，对x讨论，当x＜-1时，当-1≤x≤0时，当0＜x≤1时，当x＞1时，分别求出f（x）的范围，进而得到f（x）的最小值，再由绝对值的意义可得|y-1|的最小值，即可得到答案．

解答： 解：令f（x）=|x-1|+|x|+|x+1|，
当x＜-1时，f（x）=1-x-x-x-1=-3x，则f（x）＞3；
当-1≤x≤0时，f（x）=1-x-x+x+1=2-x，则2≤f（x）≤3；
当0＜x≤1时，f（x）=1-x+x+x+1=x+2，则2＜f（x）≤3；
当x＞1时，f（x）=x-1+x+x+1=3x，则f（x）＞3．
综上可得f（x）的值域为[2，+∞），x=0时取得最小值2，
又|y-1|≥0，y=1取等号．
则当x=0，y=1时，|x-1|+|x|+|y-1|+|x+1|取得最小值2．
故答案为：2．

点评：本题考查绝对值函数的最值求法，考查分类讨论的思想方法，注意等号成立的条件，属于基础题和易错题．