Question

【题目】（1）若，恒成立，求实数的最大值；

（2）在（1）的条件下，求证：函数在区间内存在唯一的极大值点，且．

Answer 1

【答案】（1）．（2）家粘结性

【解析】

（1）令，求出导函数，由确定增区间，确定减区间，从而得的最小值，得的取值范围，即得；

（2）求出导函数，通分后，令，再求导数，令．分类讨论，当时，，得递减，从而可得在上有唯一零点，时，令．利用导数得的单调性，从而得，于是得出在上的单调性，得唯一极大值点．由可对变形，得，只要证明在上，从而可证得结论．

（1）解：令，则．

可见，；．

故函数在上单调递减，在上单调递增．

所以，当且仅当时，函数取最小值1．

由题意，实数．所以．

（2）由（1），．

令，

则．

令．

①当时，，，，所以．

可见，，所以在上单调递减．

又（由（1），可得，所以），

，所以存在唯一的，使得．

从而，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减．

②当时，令．

则．所以在上单调递减．

所以（由（1），可得，所以）．

又当时，，，，

所以当时，，从而．所以在单调递增．

综上所述，在上单调递增，在上单词递减．

所以，函数在区间内存在唯一极大值点．

关于的证明如下：

由上面的讨论，，且，所以，所以．

于是．

令．当时，．所以在上单调递增．所以，当时，，即．

又因为，所以，，所以．

所以．