Question

【题目】已知数列的前项和为，且对一切正整数都有.

（1）求证：；

（2）求数列的通项公式；

（3）是否存在实数，使不等式，对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在；的取值范围是.

【解析】

（1）由题得①，②，②－①即得；

（2）由题得.，再对分奇数和偶数两种情况讨论，求出数列的通项公式；

（3）令，判断函数的单调性，求出其最大值，解不等式即得解.

（1）证明：∵①，

∴②

由②－①得，

∴.

（2）∵③

∴，④

④－③，得.

从而数列的奇数项依次成等差数列，且首项为，公差为；

数列的偶数项也依次成等差数列，且首项为，公差为.

在①中令得，又∵，∴.

在③中令得，∴.

∴当时，，；

∴当时，，；

综上所述，.

（3）令，则

且

∴，

∴单调递减，

∴.

∴不等式对一切正整数都成立等价于对一切正整数都成立，

等价于，即.

∴，即，

解之得，或.

综上所述，存在实数的适合题意，的取值范围是.