【题目】如图,已知圆经过椭圆
的左右焦点
,与椭圆
在第一象限的交点为
,且
,
,
三点共线.
(1)求椭圆的方程;
(2)设与直线(
为原点)平行的直线交椭圆
于
两点,当
的面积取取最大值时,求直线
的方程.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)由题意把焦点坐标代入圆的方程求出 ,再由条件得
为圆
的直径,且
,根据勾股定理求出
,根据椭圆的定义和
依次求出
的值,代入椭圆方程即可;
(2)由(1)求出的坐标,根据向量共线的条件求出直线
的斜率,设直线
的方程和
的坐标,联立直线方程和椭圆方程消去
,利用韦达定理和弦长公式求出
,由点到直线的距离公式求出点
到直线
的距离,代入三角形的面积公式求出
,化简后求最值即可.
试题解析:(1)∵,
,
三点共线,∴
为圆
的直径,且
,
∴.由
,得
,∴
,∵
, ∴
, ∴
,
.
∵,∴
,∴椭圆
的方程为
. (2)由(1)知,点
的坐标为
,∴直线
的斜率为
,故设直线
的方程为
,将
方程代入
消去
得:
, 设
∴
,
,
,
∴
, 又:
=
,∵点
到直线
的距离
, ∴
,
当且仅当,即
时等号成立,此时直线
的方程为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2016年举行某一产品的促销获得,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)万件与年促销费用
万元满足
(
为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(成产投入成本包括生产固定投入和生产再投入两部分).
(1)求常数,并将该厂家2016年该产品的利润
万元表示为年促销费用
万元的函数;
(2)该厂家2016年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中,已知
,点
是三角形木板内一点,现因三角形木板中阴影部分受到损坏,要把损坏部分锯掉,可用经过点
的任一直线
将三角形木板锯成
.设直线
的斜率为
.
(Ⅰ)求点的坐标及直线
的斜率
的范围;
(Ⅱ)令的面积为
,试求出
的取值范围;
(Ⅲ)令(Ⅱ)中的取值范围为集合
,若
对
恒成立,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直线的参数方程为
(
为参数),以
为极点,
轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,(
)
(1)写出直线经过的定点的直角坐标,并求曲线
的普通方程;
(2)若,求直线
的极坐标方程,以及直线
与曲线
的交点的极坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1 .
(1)求证:AB1⊥平面A1BC1;
(2)若D为B1C1的中点,求AD与平面A1BC1所成的角.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆
,
是坐标原点,
分别为其左右焦点,
,
是椭圆上一点,
的最大值为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆
交于
两点,且
(i)求证: 为定值;
(ii)求面积的取值范围.
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