Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1 ．

（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；
（2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1BC1所成的角．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，

∴AB1⊥BA1．

∵AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1．

又∵A1C1⊥A1B1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，

∴A1C1⊥AB1．

∴AB1⊥平面A1BC1．

（2）解：设AB1与A1B相交于点O，则点O是线段AB1的中点．

连接AC1，由题意知△AB1C1是正三角形．

由AD，C1O是△AB1C1的中线知：AD与C1O的交点为重心G，连接OG．

由（1） 知AB1⊥平面A1BC1，

∴OG是AD在平面A1BC1上的射影，

∴∠AGO是AD与平面A1BC1所成的角．

在直角△AOG中，

AG= AD= AB1= AB，AO= AB，

∴sin∠AGO= = ．

∴∠AGO=60°，

即AD与平面A1BC1所成的角为60°．

【解析】（1）由题意先推导出A1C1⊥平面AA1B1B，从而得到A1C1⊥AB1 ， 由此能够证明AB1⊥平面A1BC1 ． （2） 设AB1与A1B相交于点O，由题设条件推导出AD与C1O的交点为重心G，连接OG，能推导出∠AGO是AD与平面A1BC1所成的角，由此能求出AD与平面A1BC1所成的角的大小．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角，需要了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能得出正确答案．