Question

17．四边形ABCD中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，当D在BC的正上方时S_△DBC面积最大，A为BC的正下方时S_△ABC面积最大，设BC为2x，可求DH=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，S_{四边形ABCD}=x²+x$\sqrt{1-{x}^{2}}$，设x=sinθ，则利用三角函数恒等变换的应用化简可得S_四边形=$\frac{1}{2}$[1+$\sqrt{2}$sin（2θ-$\frac{π}{4}$）]，利用正弦函数的性质即可求得S_四边形的最大值．

解答 解：∵∠BAC=90°，BD+CD=2，
∴D在以BC为焦点的椭圆上运动，A在以BC为直径的圆上运动，
∴当D在BC的正上方时S_△DBC面积最大，A为BC的正下方时S_△ABC面积最大，此时，设BC为2x，则DH=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△BCD+S_ABC=x$•\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\frac{1}{2}•2x•x$=x²+x$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
设x=sinθ，则$\sqrt{1-{x}^{2}}$=cosθ，
∴S_四边形=sin²θ+sinθcosθ=$\frac{1}{2}$（2sin²θ+2sinθcosθ）=$\frac{1}{2}$（1-cos2θ+sin2θ）=$\frac{1}{2}$[1+$\sqrt{2}$sin（2θ-$\frac{π}{4}$）]，
∴当sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=1时，即θ=$\frac{3π}{8}$时，S_四边形取得最大值，最大值为：$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了圆和椭圆的性质，考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质的综合应用，考查了运动思想，转化思想和数形结合思想，属于中档题．