Question

3．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是DD₁的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A₁B₁上的任意一点，则直线OP与直线AM所成的角为（　　）

• A． 45°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 与点P的位置有关

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．不妨时AB=2，则A（2，0，0），O（1，1，0），M（0，0，1），设P（2，y，2），
计算$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{OP}$，即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
不妨时AB=2，则A（2，0，0），O（1，1，0），M（0，0，1），设P（2，y，2），
则$\overrightarrow{AM}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{OP}$=（1，y-1，2），
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{OP}$=-2+0+2=0，
∴$\overrightarrow{AM}⊥\overrightarrow{OP}$．
∴直线OP与直线AM所成的角为90^°．
故选：C．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．