Question

已知函数f（x）=x²-bx+3，且f（0）=f（4）．
（1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合；
（2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域．

Answer 1

解：（1）因为f（0）=f（4），所以图象的对称轴为x==2，
∴b=4，函数表达式为f（x）=x²-4x+3，
解f（x）=0，得x₁=1，x₂=3，因此函数的零点为：1和3
满足条件f（x）＜0的x的集合为（1，3）
（2）f（x）=（x-2）²-1，在区间（0，2）上为增函数，在区间（2，3）上为减函数
所以函数在x=2时，有最小值为-1，最大值小于f（0）=3
因而函数在区间（0，3]上的值域的为[-1，3）．
分析：（1）从f（0）=f（4）可得函数图象关于直线x=2对称，用公式可以求出b=4，代入函数表达式，解一元二次不等式即可求出满足条件f（x）＜0的x的集合；
（2）在（1）的基础上，利用函数的单调性可以得出函数在区间（0，3]上的最值，从而可得函数在（0，3]上的值域．
点评：本题主要考查二次函数解析式中系数与对称轴的关系、二次函数的单调性与值域问题，属于中档题．只要掌握了对称轴公式，利用函数的图象即可得出正确答案．