Question

设f^-1（x）是函数f（x）=

1

2

（a^x-a^-x）（a＞1）的反函数，则使f^-1（x）＞1成立的x的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：导数的运算,反函数

专题：函数的性质及应用

分析：利用一元二次方程的解法得出函数f（x）=

1

2

（a^x-a^-x）（a＞1）的反函数，再通过分类讨论即可解出根式类型的不等式的解集．

解答： 解：由y=

1

2

(ax-a-x)，化为（a^x）²-2ya^x-1=0，解得a^x=y±

y2+1

，
∵a^x＞0，∴ax=y+

y2+1

．
把x与y互换可得ay=x+

x2+1

，
∴y=loga(x+

x2+1

)，
∴f^-1（x）=loga(x+

x2+1

)（x∈R）．（a＞1）．
∵f^-1（x）＞1成立，∴loga(x+

x2+1

)＞1，
又a＞1，
∴x+

x2+1

＞a，
①当x＞a时，上述不等式恒成立；
②当x≤a时，上述不等式变为

x2+1

＞a-x，
两边平方化为2ax＞a²-1，∴x＞

a2-1

2a

．
因此

a2-1

2a

＜x≤a．
综上可得：使f^-1（x）＞1成立的x的取值范围是(

a2-1

2a

，+∞)．
故答案为：(

a2-1

2a

，+∞)．

点评：本题考查了求函数的反函数的方法、分类讨论、解根式类型的方程的方法，属于中档题．