Question

已知函数f(x)=

3

sin(ωx+?)-cos(ωx+?)  (0＜?＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴的距离为

π

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．
（3）若存在x0∈(0，

2π

3

)，使不等式f（x₀）＜m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）化简f（x）的解析式，利用f（x）为偶函数求出?值，再利用周期等于π，求出ω，即得f（x）的解析式．
（2）g(x)=2cos2(x-

π

6

)=2cos(2x-

π

3

)，由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π，解得x的范围，即得函数的单调递减区间．
（3）依题可得只需x0∈(0，

2π

3

)时，m大于f（x₀）的最小值即可．

解答：解：（1）

f(x)= 3 sin(ωx+?)-cos(ωx+?)

=

2sin(ωx+?- π 6 )

，
∵f（x）为偶函数，所以?-

π

6

=kπ+

π

2

，又0＜?＜π，所以?=

2π

3

，
函数y=f（x）图象的两相邻对称轴的距离为

π

2

，所以周期T=π，于是ω=2，所以，f(x)=2sin(2x+

π

2

)=2cos2x．
（2）g(x)=2cos2(x-

π

6

)=2cos(2x-

π

3

)，由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π，
解得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，所以函数的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]   (k∈Z)．
（3）依题可得只需x0∈(0，

2π

3

)时，m＞（f（x₀））_min =-2．

点评：本题考查y=Asin（ωx+∅）的图象的变换，正弦函数的奇偶性、单调性及最值，求g（x）的单调递减区间是解题的难点．