Question

13．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率$e=\frac{1}{2}$，左顶点为A（-4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；
（Ⅲ）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率和左顶点，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）直线l的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得，（x+4）[（4k²+3）x+16k²-12）]=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果．
（Ⅲ）OM的方程可设为y=kx，与椭圆联立得M点的横坐标，OM的方程可设为y=kx，与椭圆联立得M点的横坐标

解答 解：（Ⅰ）因为左顶点为A（-4，0），所以a=4，又$e=\frac{1}{2}$，所以c=2．
又∵b²=a²-c²=12，所以椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+4），化简得，（x+4）[（4k²+3）x+16k²-12）]=0，
∴x₁=-4，${x}_{2}=\frac{-16{k}^{2}+12}{4{k}^{2}+3}$．
当x=$\frac{-16{k}^{2}+12}{4{k}^{2}+3}$时，y=k（$\frac{-16{k}^{2}+12}{4{k}^{2}+3}+4）=\frac{24k}{4{k}^{2}+3}$，
∴D（$\frac{-16{k}^{2}+12}{4{k}^{2}+3}，\frac{24k}{4{k}^{2}+3}$）∵点P为AD的中点，∴P的坐标为（$\frac{-16{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}，\frac{12k}{4{k}^{2}+3}$）．
则${k}_{OP}=-\frac{3}{4k}，（k≠0）$，直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得E点坐标为（0，4k），
假设存在定点Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，
则k_OPk_EQ=-1，即$\frac{3}{-4k}•\frac{n-4k}{m}=-1$恒成立，
∴（4m+12）k-3n=0恒成立，∴m=-3，n=0．
∴定点Q的坐标为（-3，0）
（Ⅲ）∵OM∥l，∴OM的方程可设为y=kx，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得M点的横坐标为x=±$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{4{k}^{2}+3}}$．
由OM∥l，得|AD|+|AE|=|x_A-x_D|+|=|x_A-x_E|=|=x_D-2x_A
|OM|=|x_M|．
$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{4{k}^{2}+9}{\sqrt{4{k}^{2}+3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}（\sqrt{4{k}^{2}+3}+\frac{6}{\sqrt{4{k}^{2}+3}}）\\;\$≥2$\sqrt{2}$．
当且仅当$\sqrt{4{k}^{2}+3}=\frac{6}{\sqrt{4{k}^{2}+3}}$，即k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$时取等号．
∴k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$取最小值2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，考查代数式的最小值的求法，注意韦达定理、直线垂直、椭圆性质的合理运用．属于中档题．